记图像中的灰度值的最大值为 
，最小值为 
，则可给出一个符合要求的函数
原图像一般只有有限个灰度级，部分灰度级像素较多，部分灰度级中没有像素．由于均衡化时的变换函数是单调递增的，每个灰度级只能映射到同一个灰度级，所以均衡化后的图像的灰度级数小于等于原图像的灰度级数．
由
和
得第一次直方图均衡化
其中，
是图像中的像素总数，
表示灰度值为 
的像素数．
记 
表示灰度值为 
的像素数，则第二次直方图均衡化的结果为
由于直方图均衡化使原有的每个灰度级的像素数量保持不变，只是灰度值发生了变化，因此，映射后的每个新灰度级依然保有相同数量的像素，即 
，所以
对于
设 
，
故 
在区间 
上是一个单调递增函数，条件 (a) 得证．
故对于 
，有 
，条件 (b) 得证．
对于 
，有 
，条件 (b) 得证．
由 (a)，设 时，若 
且 
丢失，则 
，
可能等于 ，不符合单调递增的要求．
而当灰度不丢失时，
，
此时 在区间 上是一个严格单调递增函数．
下面证明严格单调递增函数 的反函数 
严格单调递增．取 
，有 
，因为 严格递增，所以 ，所以 
在 
上严格递增．
两个模板均为线性变换，顺序不影响最终结果．即交换前后结果相同．
非锐化处理中，
由拉普拉斯定义
有 
．即从一幅图像中减去相应的拉普拉斯图像等同于对图像进行非锐化模板处理．
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