為了展開一幅影象的灰度，使其最低灰度為 
、最高灰度為 
，試給出一個單調的變換函式．
、最高灰度為 ，試給出一個單調的變換函式．記影象中的灰度值的最大值為 
，最小值為 
，則可給出一個符合要求的函式
試解釋為什麼離散直方圖均衡技術一般不能得到平坦的直方圖？
原影象一般只有有限個灰度級，部分灰度級畫素較多，部分灰度級中沒有畫素．由於均衡化時的變換函式是單調遞增的，每個灰度級只能對映到同一個灰度級，所以均衡化後的影象的灰度級數小於等於原影象的灰度級數．
假設對一幅數字影象進行直方圖均衡處理．試證明（對直方圖均衡後的影象）進行第二次直方圖均衡處理的結果與第一次直方圖均衡處理的結果相同．
由
和
得第一次直方圖均衡化
其中，
是影象中的畫素總數，
表示灰度值為 
的畫素數．
記 
表示灰度值為 
的畫素數，則第二次直方圖均衡化的結果為
由於直方圖均衡化使原有的每個灰度級的畫素數量保持不變，只是灰度值發生了變化，因此，對映後的每個新灰度級依然保有相同數量的畫素，即 
，所以
4、（a）證明式（3.3.8）中給出的離散變換函式對直方圖均衡處理滿足3.3.1節中的條件（a）和（b）．
對於
設 
，
故 
在區間 
上是一個單調遞增函式，條件 (a) 得證．
故對於 
，有 
，條件 (b) 得證．
（b）證明只有在灰度不丟失的情況下，式（3.3-9）表示的離散直方圖反變換才滿足3.3.1節中的條件（a′）和（b）．
對於 
，有 
，條件 (b) 得證．
由 (a)，設 時，若 
且 
丟失，則 
，
可能等於 ，不符合單調遞增的要求．
而當灰度不丟失時，
，
此時 在區間 上是一個嚴格單調遞增函式．
下面證明嚴格單調遞增函式 的反函式 
嚴格單調遞增．取 
，有 
，因為 嚴格遞增，所以 ，所以 
在 
上嚴格遞增．
在給定應用中，一個均值模板被用於輸入影象以減少噪聲，然後再用一個拉普拉斯模板來增強影象中的細節．如果交換一下這兩個步驟的順序，結果是否會相同？
兩個模板均為線性變換，順序不影響最終結果．即交換前後結果相同．
使用式（3.6-6）給出的拉普拉斯定義，證明從一幅影象中減去相應的拉普拉斯影象等同於對影象進行非銳化模板處理．
非銳化處理中，
由拉普拉斯定義
有 
．即從一幅影象中減去相應的拉普拉斯影象等同於對影象進行非銳化模板處理．
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