截面的几何性质

静距和形心

定义

表示截面到 轴的静距， 表示形心的 轴坐标．

静距的量纲为长度的 3 次方．

截面对某个轴线的静距是微元面积与其到该轴线距离的乘积的积分，即

定理

由合力矩定理可得

故我们有

如果我们选择的坐标轴穿过了形心，则其称作形心轴．此时 或 为 ．又 不为 ，所以 或 为 ．即有定理：若坐标轴是形心轴，则截面对其静矩为 ．其逆命题也成立．

计算

若界面形状由多个基本图形组成，则形心坐标为各图形静距之和与各图形面积之和的比值．

实际计算中，可以记住基本图形的公式，无需通过积分求．

矩形的静距

矩形的静距为长、宽、矩形形心到轴距离三者的乘积：

惯性矩

定义

惯性矩的量纲为长度的 4 次方．

截面对某个轴线的惯性矩是微元面积与其到该轴线距离 2 次方乘积的积分，即

计算

矩形的惯性矩

对 轴

其中， 为宽， 为高．

对形心轴

圆的惯性矩

对形心轴

圆环的惯性矩

其中， 为内环直径， 为外环直径．

三角形的惯性矩

其中， 为底边长， 为高．

定理

由平行轴定理，对转动惯量，我们有

其中， 为刚体质量．

对惯性矩，我们也有

极惯性矩

定义

截面对于一个轴的极惯性矩，又称截面二次极矩，是截面上微元面积与其到坐标原点距离 2 次方乘积的积分，即

其中， 为微元距轴的距离．

有

以上．🪵