截面的几何性质

静距和形心

定义

\(S_z\) 表示截面到 \(z\) 轴的静距， \(y_C\) 表示形心的 \(y\) 轴坐标．

静距的量纲为长度的 3 次方．

截面对某个轴线的静距是微元面积与其到该轴线距离的乘积的积分，即

\[S_y=\int\limits_{A} z\mathrm d A\]

\[S_z=\int\limits_{A} y\mathrm d A\]

定理

由合力矩定理可得

\[z_C=\frac{S_y}{A}, y_C=\frac{S_z}{A}.\]

故我们有

\[S_y=z_CA, S_z=y_CA.\]

如果我们选择的坐标轴穿过了形心，则其称作形心轴．此时 \(z_C\) 或 \(y_C\) 为 \(0\) ．又 \(A\) 不为 \(0\) ，所以 \(S_y\) 或 \(S_z\) 为 \(0\)．即有定理：若坐标轴是形心轴，则截面对其静矩为 \(0\)．其逆命题也成立．

计算

若界面形状由多个基本图形组成，则形心坐标为各图形静距之和与各图形面积之和的比值．

实际计算中，可以记住基本图形的公式，无需通过积分求．

矩形的静距

矩形的静距为长、宽、矩形形心到轴距离三者的乘积：

\[S_z=bh\cdot\frac 1 2 h=\frac 1 2 bh^2.\]

惯性矩

定义

惯性矩的量纲为长度的 4 次方．

截面对某个轴线的惯性矩是微元面积与其到该轴线距离 2 次方乘积的积分，即

\[I_{z}=\int\limits_{A} y^{2} \mathrm{~d} A\]

\[I_{y}=\int\limits_{A} z^{2} \mathrm{~d} A\]

计算

矩形的惯性矩

对 \(z\) 轴

\[I_z=\frac{bh^3}{3}\]

其中， \(b\) 为宽， \(h\) 为高．

对形心轴

\[I_z=\frac{bh^3}{12}\]

圆的惯性矩

对形心轴

\[I_z = \frac{\pi D^4}{64}\]

圆环的惯性矩

\[I_z = \frac{\pi D^4(1-{\frac d D}^4)}{64}\]

其中， \(d\) 为内环直径， \(D\) 为外环直径．

三角形的惯性矩

\[I_z = \frac{bh^3}{36}\]

其中， \(b\) 为底边长， \(h\) 为高．

定理

由平行轴定理，对转动惯量，我们有

\[I_{z'}=I_C+Md^2\]

其中， \(M\) 为刚体质量．

对惯性矩，我们也有

\[I_z = I_x + Ad^2\]

极惯性矩

定义

截面对于一个轴的极惯性矩，又称截面二次极矩，是截面上微元面积与其到坐标原点距离 2 次方乘积的积分，即

\[I_p = \int\limits_A\rho^2\mathrm d A\]

其中， \(\rho\) 为微元距轴的距离．

有

\[I_p = \int\limits_A\rho^2\mathrm d A=\int\limits_A(z^2+y^2)\mathrm d A=I_y+I_z.\]

以上．🪵