截面的几何性质

静距和形心

定义

\(S_z\) 表示截面到 \(z\) 轴的静距, \(y_C\) 表示形心的 \(y\) 轴坐标.

静距的量纲为长度的 3 次方.

截面对某个轴线的静距是微元面积与其到该轴线距离的乘积的积分,即

\[S_y=\int\limits_{A} z\mathrm d A\]

\[S_z=\int\limits_{A} y\mathrm d A\]

定理

合力矩定理可得

\[z_C=\frac{S_y}{A}, y_C=\frac{S_z}{A}.\]

故我们有

\[S_y=z_CA, S_z=y_CA.\]

如果我们选择的坐标轴穿过了形心,则其称作形心轴.此时 \(z_C\)\(y_C\)\(0\) .又 \(A\) 不为 \(0\) ,所以 \(S_y\)\(S_z\)\(0\).即有定理:若坐标轴是形心轴,则截面对其静矩为 \(0\).其逆命题也成立.

计算

若界面形状由多个基本图形组成,则形心坐标为各图形静距之和与各图形面积之和的比值.

实际计算中,可以记住基本图形的公式,无需通过积分求.

矩形的静距

矩形的静距为长、宽、矩形形心到轴距离三者的乘积:

\[S_z=bh\cdot\frac 1 2 h=\frac 1 2 bh^2.\]

惯性矩

定义

惯性矩的量纲为长度的 4 次方.

截面对某个轴线的惯性矩是微元面积与其到该轴线距离 2 次方乘积的积分,即

\[I_{z}=\int\limits_{A} y^{2} \mathrm{~d} A\]

\[I_{y}=\int\limits_{A} z^{2} \mathrm{~d} A\]

计算

矩形的惯性矩

\(z\)

\[I_z=\frac{bh^3}{3}\]

其中, \(b\) 为宽, \(h\) 为高.

对形心轴

\[I_z=\frac{bh^3}{12}\]

圆的惯性矩

对形心轴

\[I_z = \frac{\pi D^4}{64}\]

圆环的惯性矩

\[I_z = \frac{\pi D^4(1-{\frac d D}^4)}{64}\]

其中, \(d\) 为内环直径, \(D\) 为外环直径.

三角形的惯性矩

\[I_z = \frac{bh^3}{36}\]

其中, \(b\) 为底边长, \(h\) 为高.

定理

平行轴定理,对转动惯量,我们有

\[I_{z'}=I_C+Md^2\]

其中, \(M\) 为刚体质量.

对惯性矩,我们也有

\[I_z = I_x + Ad^2\]

极惯性矩

定义

截面对于一个轴的极惯性矩,又称截面二次极矩,是截面上微元面积与其到坐标原点距离 2 次方乘积的积分,即

\[I_p = \int\limits_A\rho^2\mathrm d A\]

其中, \(\rho\) 为微元距轴的距离.

\[I_p = \int\limits_A\rho^2\mathrm d A=\int\limits_A(z^2+y^2)\mathrm d A=I_y+I_z.\]

以上.🪵