截面的几何性质

靜距和形心#

定義#

表示截面到 軸的靜距， 表示形心的 軸座標．

靜距的量綱為長度的 3 次方．

截面對某個軸線的靜距是微元面積與其到該軸線距離的乘積的積分，即

定理#

由合力矩定理可得

故我們有

如果我們選擇的座標軸穿過了形心，則其稱作形心軸．此時 或 為 ．又 不為 ，所以 或 為 ．即有定理：若座標軸是形心軸，則截面對其靜矩為 ．其逆命題也成立．

計算#

若介面形狀由多個基本圖形組成，則形心座標為各圖形靜距之和與各圖形面積之和的比值．

實際計算中，可以記住基本圖形的公式，無需透過積分求．

矩形的靜距#

矩形的靜距為長、寬、矩形形心到軸距離三者的乘積：

慣性矩#

定義#

慣性矩的量綱為長度的 4 次方．

截面對某個軸線的慣性矩是微元面積與其到該軸線距離 2 次方乘積的積分，即

計算#

矩形的慣性矩#

對 軸

其中， 為寬， 為高．

對形心軸

圓的慣性矩#

對形心軸

圓環的慣性矩#

其中， 為內環直徑， 為外環直徑．

三角形的慣性矩#

其中， 為底邊長， 為高．

定理#

由平行軸定理，對轉動慣量，我們有

其中， 為剛體質量．

對慣性矩，我們也有

極慣性矩#

定義#

截面對於一個軸的極慣性矩，又稱截面二次極矩，是截面上微元面積與其到座標原點距離 2 次方乘積的積分，即

其中， 為微元距軸的距離．

有

以上．

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