四元数推导地球坐标系间转换关系

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分类: Typst 6
标签: 四元数 2

采用四元数方法推导东经90度、北纬60度地理坐标系 与东经0度、北纬30度地理坐标系 的坐标转换关系。

地球坐标系
地球坐标系
地理坐标系(g 系)原点为载体质心,𝑥g 轴在当地水平面内沿当地纬线指向正东,𝑦g 轴沿当地子午线指向正北,𝑧g 轴沿当地参考椭球的法线指向天顶。𝑇1𝑇2 需要经过连续两次平面旋转。第一次旋转是绕地轴旋转,从 90°E 处变至 0°E(W) 处,旋转了 90°地轴与𝑥 轴垂直,与 𝑧 轴偏 30°将地轴表示为 𝒖=(0,sin(30°)cos(30°)),则𝑞1=cos(𝜃2)+𝒖sin(𝜃2)=cos(45°)+𝒖sin(45°)=22+(0𝑖+12𝑗+32𝑘)×(22)=2224𝑗64𝑘.
旋转示意动画
旋转示意动画
第二次旋转是绕与 0°E(W)180°E(W) 经线平面垂直的过地心的直线旋转,60°N 处变至 30°N 处,旋转了 30°该直线与 𝑥 轴平行,与 𝑦 轴垂直,与 𝑧 轴相交。将该直线表示为 𝒖=(1,0,0),则𝑞2=cos(𝜃2)+𝒖sin(𝜃2)=cos(15°)+𝒖sin(15°)=1+322+1+322𝑖.两次旋转可复合为𝑞=𝑞2𝑞1=0.683+0.183𝑖0.183𝑗0.683𝑘.对于一个相对于坐标系 𝑇1 不发生旋转变换的矢量 𝑉=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘,在新坐标系 𝑇2 上的投影𝑉=𝑞𝑉𝑞.

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