四元数推导地球坐标系间转换关系

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采用四元数方法推导东经90度、北纬60度地理坐标系 与东经0度、北纬30度地理坐标系 的坐标转换关系。

地球坐标系
地球坐标系
地理坐标系（g 系）原点为载体质心，𝑥g 轴在当地水平面内沿当地纬线指向正东，𝑦g 轴沿当地子午线指向正北，𝑧g 轴沿当地参考椭球的法线指向天顶。从 𝑇1 到 𝑇2 需要经过连续两次平面旋转。第一次旋转是绕地轴旋转，从 90°E 处变至 0°E(W) 处，旋转了 −90°。地轴与𝑥 轴垂直，与 𝑧 轴偏 30°。将地轴表示为 𝒖=(0,sin(30°)，cos(30°))，则𝑞1=cos(𝜃2)+𝒖sin(𝜃2)=cos(−45°)+𝒖sin(−45°)=√22+(0𝑖+12𝑗+√32𝑘)×(−√22)=√22−√24𝑗−√64𝑘.
旋转示意动画
旋转示意动画
第二次旋转是绕与 0°E(W)、180°E(W) 经线平面垂直的过地心的直线旋转，从 60°N 处变至 30°N 处，旋转了 30°。该直线与 𝑥 轴平行，与 𝑦 轴垂直，与 𝑧 轴相交。将该直线表示为 𝒖=(1,0,0)，则𝑞2=cos(𝜃2)+𝒖sin(𝜃2)=cos(15°)+𝒖sin(15°)=1+√32√2+−1+√32√2𝑖.两次旋转可复合为𝑞=𝑞2𝑞1=0.683+0.183𝑖−0.183𝑗−0.683𝑘.对于一个相对于坐标系 𝑇1 不发生旋转变换的矢量 𝑉=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘，在新坐标系 𝑇2 上的投影𝑉′=𝑞𝑉𝑞∗.

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